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代数分式是包含变量的分式表达式，形如 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 都是多项式，且 \(Q(x) \neq 0\)。化简代数分式的基本方法是先对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式。
代数分式：形如 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的表达式，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式，\(Q(x) \neq 0\)。
化简代数分式的步骤：
1. 对分子和分母进行因式分解
2. 识别并约去公因式
3. 写出最简形式
\(\frac{5x^2 - 245}{2x^2 - 15x + 7} = \frac{5(x + 7)(x - 7)}{(2x - 1)(x - 7)} = \frac{5(x + 7)}{2x - 1}\)
通过因式分解和约分，将复杂的分式化简为最简形式
题目：化简 \(\frac{7x^4 - 2x^3 + 6x}{x}\)
解答：
\(\frac{7x^4 - 2x^3 + 6x}{x} = \frac{7x^4}{x} - \frac{2x^3}{x} + \frac{6x}{x}\)
\(= 7x^3 - 2x^2 + 6\)
将分子中的每一项分别除以分母 \(x\)，然后化简。
题目：化简 \(\frac{(x + 7)(2x - 1)}{(2x - 1)}\)
解答：
\(\frac{(x + 7)(2x - 1)}{(2x - 1)} = x + 7\)
分子和分母有公因式 \((2x - 1)\)，可以直接约去。
题目：化简 \(\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3}\)
解答：
\(\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} = \frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3}\)
\(= x + 4\)
先将分子因式分解为 \((x + 3)(x + 4)\)，然后约去公因式 \((x + 3)\)。
题目：化简 \(\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x - 10}\)
解答：
\(\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x - 10} = \frac{(x + 5)(x + 1)}{(x + 5)(x - 2)}\)
\(= \frac{x + 1}{x - 2}\)
分别对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式 \((x + 5)\)。
题目：化简 \(\frac{2x^2 + 11x + 12}{(x + 3)(x + 4)}\)
解答：
首先因式分解分子：
\(2x^2 + 11x + 12 = 2x^2 + 3x + 8x + 12\)
\(= x(2x + 3) + 4(2x + 3)\)
\(= (2x + 3)(x + 4)\)
所以：
\(\frac{2x^2 + 11x + 12}{(x + 3)(x + 4)} = \frac{(2x + 3)(x + 4)}{(x + 3)(x + 4)}\)
\(= \frac{2x + 3}{x + 3}\)
在化简代数分式时，要确保分母不为零。约去公因式后，要注意分式的定义域可能发生变化。
通过本节的学习，你应该能够：